OpenGL 齐次坐标的妙用

非透视投影变换

非透视投影包括 R(旋转)、S(缩放)、T(位移)、虚拟摄像机变换、正视投影变换，所有的非透视投影变换 都是 R S T 组合而来的

位移变换

假设我们有一个向量代表一个物体 $V=(x,y)$ ，然后我们想平移它

比如这样：$V^{'}=(x+t_x,y+t_x)$

而矩阵运算

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+by \\ cx+dy \end{bmatrix}$$

没有办法出现常数，所以我们就可以增加一个维度：
$\begin{bmatrix}
x\
y\
1
\end{bmatrix} $

然后再使用一个 3×3 的矩阵来做变换

$$\begin{bmatrix} x^{'}\\ y^{'}\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+t_x\\ y+t_x\\ 1 \end{bmatrix}$$

得到 $x^{'}=x+x_t$ ， $y^{'}=y+y_t$

这样我们就可以完成位移了，这个吧多出来的维度就叫齐次坐标。

同样我们统一使用齐次坐标来进行缩放和旋转，因为这样就可以一直保持向量是多一个维度的（也就是多出来的那个齐次坐标），直接相乘不用来回增减齐次坐标了。

$$T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

缩放变换

$$S=\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

旋转变换

$$R= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

三维物体变换

位移

$$T= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

缩放

$$S= \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0\\ 0 & s_y & 0 & 0\\ 0 & 0 & s_z & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

旋转

$$R_x= \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0 & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$R_y= \begin{bmatrix} cos\theta & 0 & -sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ sin\theta & 0 & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

$$R_z= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta & 0 \\ 0 & sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

透视投影变换

小孔成像

透视投影变换能够呈现出近大远小透视效果，更符合我们的视觉感受

透视投影模拟的是针孔摄像机，或者说小孔成像

小孔成像会在黑盒里的真空后面后面呈现一个倒立的图像，但是我们在计算机里可以将图像放在小孔前面，这样不仅可以避免图像颠倒，写代码的时候还会更直观

而且这个小孔的位置就可以成为我们的观察点

矩阵计算

然后我们就可以计算一下这个最终呈现的像的大小

如图所示，我们用相似可以简单推出 $\displaystyle y^{'}=-\frac{n\cdot y}{z}$ （ $py=-z$ 是因为坐标 $z$ 是 $A$ 点的 $z$ 轴坐标）

成像的 $y^{'}$ 与 $z$ 成反比，正好符合近大远小的规律

然而，矩阵运算是乘法和加法，没法很方便地计算除法

所以我们这里使用齐次坐标

$$\begin{bmatrix} A & B & C \\ E & F & G \\ I & J & K \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ax+By+Cz\\ Ex+Fy+Gz\\ Ix+Jy+Kz \end{bmatrix}$$

最终将得到的向量除以 $z$ 分量得到：

$$\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{Ax+By+Cz}{Ix+Jy+Kz}\\\\ \displaystyle\frac{Ex+Fy+Gz}{Ix+Jy+Kz}\\\\ 1 \end{bmatrix}$$

就得到了最终的答案，在成像位置不变的时候，$z$ 越小显示的图像越大，反之越小，三维物体也是同样的道理：

$$\begin{bmatrix} A & B & C & D\\ E & F & G & H\\ I & J & K & L\\ M & N & O & P \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Ax+By+Cz+Dw\\ Ex+Fy+Gz+Hw\\ Ix+Jy+Kz+Lw\\ Mx+Ny+Oz+Pw \end{bmatrix}$$

归一化：

$$\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{Ax+By+Cz+Dw}{Mx+Ny+Oz+Pw}\\\\ \displaystyle\frac{Ex+Fy+Gz+Hw}{Mx+Ny+Oz+Pw}\\\\ \displaystyle\frac{Ix+Jy+Kz+Lw}{Mx+Ny+Oz+Pw}\\\\ 1 \end{bmatrix}$$

1. 可以看到， $D$ $H$ $L$ 会与 $w$ 相乘，从而实现位移
2. $M$ $N$ $O$ 会与 $x$ $y$ $z$ 相乘，并加和在 $w$ 分量上
3. $\begin{bmatrix} A & B & C \\ E & F & G \\ I & J & K \end{bmatrix}$ 左上角这个矩阵完成旋转
4. 主对角线完成缩放

齐次坐标的原理

$w$ 分量所表达的就是比例变换，可以看到图中的 $w=1$ 的时候平移和 $w=2$ 的位移距离完全不一样

将矩阵运算出来的向量分量除以 $w$ ，并将 $w$ 置为1（也可以减去 $w$ 这个维度），这个过程叫做归一化

坐标 $(x,y,z)\text{的齐次坐标为}(wx,wy,wz,w)$

我们以三维物体投影到二维平面为例：

一个 $(2,4,3)$ 坐标，映射到 $z=5$ 的平面上

他的计算过程应该是这样的

先做归一化 $\displaystyle (\frac{2}{3},\frac{4}{3},1)$ ，然后再翻到 $z=5$ 的平面 $\displaystyle (\frac{2}{3}\times 5,\frac{4}{3}\times 5,5)=(\frac{10}{3},\frac{20}{3},5)$ ，最终得到了坐标