OpenGL 齐次坐标的妙用

非透视投影变换

非透视投影包括 R(旋转)、S(缩放)、T(位移)、虚拟摄像机变换、正视投影变换，所有的非透视投影变换 都是 R S T 组合而来的

位移变换

假设我们有一个向量代表一个物体 ，然后我们想平移它

比如这样：

而矩阵运算

没有办法出现常数，所以我们就可以增加一个维度：

然后再使用一个 3×3 的矩阵来做变换

得到 ，

这样我们就可以完成位移了，这个吧多出来的维度就叫齐次坐标。

同样我们统一使用齐次坐标来进行缩放和旋转，因为这样就可以一直保持向量是多一个维度的（也就是多出来的那个齐次坐标），直接相乘不用来回增减齐次坐标了。

缩放变换

旋转变换

三维物体变换

位移

缩放

旋转

透视投影变换

小孔成像

透视投影变换能够呈现出近大远小透视效果，更符合我们的视觉感受

透视投影模拟的是针孔摄像机，或者说小孔成像

小孔成像会在黑盒里的真空后面后面呈现一个倒立的图像，但是我们在计算机里可以将图像放在小孔前面，这样不仅可以避免图像颠倒，写代码的时候还会更直观

而且这个小孔的位置就可以成为我们的观察点

矩阵计算

然后我们就可以计算一下这个最终呈现的像的大小

如图所示，我们用相似可以简单推出 （ 是因为坐标 是 点的 ​ 轴坐标）

成像的 与 成反比，正好符合近大远小的规律

然而，矩阵运算是乘法和加法，没法很方便地计算除法

所以我们这里使用齐次坐标

最终将得到的向量除以 分量得到：

就得到了最终的答案，在成像位置不变的时候， 越小显示的图像越大，反之越小，三维物体也是同样的道理：

归一化：

1. 可以看到， 会与 相乘，从而实现位移
2. 会与 相乘，并加和在 分量上
3. 左上角这个矩阵完成旋转
4. 主对角线完成缩放

齐次坐标的原理

分量所表达的就是比例变换，可以看到图中的 的时候平移和 的位移距离完全不一样

将矩阵运算出来的向量分量除以 ，并将 置为1（也可以减去 这个维度），这个过程叫做归一化

坐标 ​

我们以三维物体投影到二维平面为例：

一个 坐标，映射到 的平面上

他的计算过程应该是这样的

先做归一化 ，然后再翻到 的平面 ，最终得到了坐标