数据库-关系代数

传统的集合运算

1. 并

2. 交

3. 差

4. 笛卡尔积

​

4.1 域

域是一组具有相同数据类型的值的集合, 例如: { 李明, 张三 , 王五} , { 男, 女 } , { 计算机 , 旅游管理 }

4.2 笛卡尔积

笛卡尔积是域上的集合运算, 允许某些域上是相同的

按域的顺序, 每个域任取一个值, 列出所有的组合, 就是笛卡尔积

专门的关系运算符

前置知识

关系模式

表示一张表的首行信息，是一个关系的抽象，例如：， 是属性抽象

比如下图表的第一行:

关系

一张表代表一个关系，n 目，表示 n 列，例如： , 上面的图表就是一个 5 目关系

属性

表内的首行的每个元素叫属性，一个属性对应一列，从第二行开始，下面的都是属性的具体数值

例如: 属性集合 ，这表示第 行的每列的分量集合，叫做属性组（属性列）。

表示取反，也就是除去第 i 行的其他属性组 ( 集合 ) , 其实就是集合取反

元组

表内的一行叫关系的一个元组

例如：， 表示 t 元组中的 分量，也就是属性 的第 行

Student 表的 元组一共有 4 个 ( 不包含第一行, 也就是不包含关系模式 )

表示元组 在属性列 上各分量的集合

元组连接

成为元组连接，形成一个 列的元组，前 个分量为 中的一个 元组，也就是 列，前 个分量为 中的一个 元组，也就是 列。

其实就是把两个元组直接拼到一起

例如将李勇和刘晨这两个元组进行连接:

连接还有一些其他的形式: 等值连接, 非等值连接, 自然连接……后面会说到

象集

关系 , 和 为属性组。当 时， 在 中的象集（images set）为：

下图是 , 在 中的象集：

如果你看了后面的计算，那么象集你可以直接用选择加投影来计算象集，比如图中的就是先选择 Y=2 再做 x 的投影

选择

表示在 R 中选出符合条件 的元组(也就是行)

查询所在系为 的学生，则 结果如图所示

查询年龄小于 20 的学生，则 结果如图所示

投影

表示关系 上 的投影，是 中对应若干属性列组成新的关系 (A 是属性列) , 是只对应属性 A 的集合。

在 中查询姓名与所在系的关系， 结果如图所示

连接

连接也称 连接. 他是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组

是条件, 和 分别为 和 上列数相等且可比的属性组, 是比较运算符.

连接运算从 和 的笛卡尔积 中 , 选取 关系在 属性组上的值 与 关系在 属性组上的值 满足比较关系 的元组

等值连接

为 的连接运算称为等值连接

非等值连接、等值连接、自然连接

自然连接是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并且在结果中把重复的属性列去掉。

如图就是非等值连接，等值连接，自然连接的对比

可以看到，

• 非等值连接是符合 的笛卡尔积元组，

• 是符合 的等值连接，

• 自然连接要求进行比较的属性 ( 分量 ) 必须是同名的属性组, 并且在结果中把重复的属性组列去掉

  也就是将同属性的两列合并成一列

举一个 非等值连接 的计算过程 , 如图是笛卡尔积 , 黄色的是满足 的

外连接

做自然连接的时候，会有一些不满足条件的元组被舍弃，叫 悬浮元组。

• ，外连接是保留（不舍弃）悬浮元组的连接
• ，左外连接是保留左边关系的悬浮元组的连接
• ，右外连接是保留右边关系的悬浮元组的连接

在下图可以看到，

中 没有对应的 值，所以填

同样， 中 也没有对应的 和 值，也填

除运算

表示 关系 是 关系 除以 关系 的结果（商）

包含所有在 但不在 中的属性及其值， 且 的元组与 的元组的所有都在 ​ 中, 也就是 和 的组合都是 的子集。（所以这个有排除的意思, 更像减法）

给定关系 和 , 其中 为属性组, R 中的 Y 和 S 中的 Y 可以有不同的属性名, 但必须出自相同的域集 ( 也就是有相同的类型 )

我们看这个式子，给定关系 和

• 的结果是一个集合, 集合里的元素是 也就是 属性 的一个分量

• 表示元组属于关系 , 表示 新关系 是 的子集 ( 集合里的元素是元组 )

• 表示 关系 中的 属性, 应该在 在 中的象集里

  象集 是为了逐一比较, 不同 下的 是否包含 中 的投影

举例: 下图可以看到，只有 中的 ， ，

• 首先看，包含在 但是不包含在 的属性显然是属性 ，所以我们求解的答案肯定是一个 分量 的列

• 其次，求出 的所有值对应的象集，也就是 的象集

  各象集

  ​

• 求出 中 的投影

• 然后确定包含关系，发现只有 包含 中的 所有组合

• 答案就是